Durante décadas, los matemáticos se han preguntado cuál es la forma más sencilla de construir un objeto con forma de rosquilla a partir de piezas planas, como papel de origami. ¿El truco? Esta “rosquilla” no es del tipo suave y glaseado que comemos. En cambio, es un toro poliédrico: una superficie irregular y de muchos lados que se asemeja a un juguete geométrico infantil. Ahora, los investigadores finalmente han determinado el número mínimo de esquinas (vértices) necesarias para construir dicha forma y, al mismo tiempo, garantizar que permanezca matemáticamente “plana”.
El problema: la planitud en dimensiones superiores
El desafío radica en comprender qué significa “plano” en este contexto. No se trata de planitud física como una hoja de papel, sino de planitud intrínseca. Esto significa que la superficie tiene las mismas propiedades geométricas que un toro liso que ha sido aplastado, como un trozo de arcilla. El problema se vuelve mucho más difícil cuando se consideran formas en cuatro o más dimensiones, donde la intuición falla y los cálculos se vuelven complejos.
El avance: ocho vértices es la clave
El matemático Richard Evan Schwartz, de la Universidad de Brown, resolvió recientemente este problema y publicó sus hallazgos en agosto de 2025. Demostró que un toro poliédrico no puede ser intrínsecamente plano con menos de ocho vértices y luego demostró un ejemplo de un toro de ocho vértices que es plano.
“Es muy sorprendente que Rich Schwartz haya podido resolver por completo este conocido problema”, afirma Jean-Marc Schlenker, matemático de la Universidad de Luxemburgo. “El problema parece elemental, pero lleva muchos años pendiente”.
El método de Schwartz implicaba trabajar hacia atrás a partir de un toro poliédrico existente para descubrir las condiciones necesarias para su construcción. Para garantizar la planitud, la suma de los ángulos alrededor de cada vértice debe ser igual a 2π, un requisito básico para la planitud intrínseca.
De los electrones en una esfera a los toros de origami
La inspiración para esta investigación provino de un problema aparentemente no relacionado: encontrar la disposición óptima de los electrones en una esfera. Los colegas de Schwartz sugirieron la conexión, señalando que ambos problemas implican buscar en configuraciones complejas para encontrar la solución más eficiente. Durante años, Schwartz descartó el problema del origami torus por considerarlo demasiado difícil, incluso después de que sus amigos se lo presionaron.
El gran avance se produjo cuando supo que otro investigador había encontrado una solución de nueve vértices. Este descubrimiento impulsó a Schwartz a reconsiderar el desafío, y un artículo poco conocido de 1991 proporcionó una pista importante. Luego completó la prueba de que siete vértices son insuficientes y luego utilizó “aprendizaje automático altamente supervisado” para encontrar el ejemplo funcional de ocho vértices.
Una mezcla de tradición y computación
El éxito de Schwartz pone de relieve su enfoque único: combinar una investigación matemática rigurosa con métodos computacionales. Escribe programas para buscar ejemplos, complementando sus conocimientos geométricos tradicionales. Según Schlenker, este conjunto de habilidades es poco común entre los matemáticos.
Este hallazgo proporciona una respuesta definitiva a una pregunta de larga data en geometría, lo que demuestra que ocho vértices son el mínimo necesario para construir un toro poliédrico intrínsecamente plano. El descubrimiento subraya el poder de combinar el rigor teórico con herramientas computacionales en las matemáticas modernas.
