Seit Jahrzehnten fragen sich Mathematiker, wie man am einfachsten ein Donut-förmiges Objekt aus flachen Stücken wie Origami-Papier konstruieren kann. Der Haken? Dieser „Donut“ ist nicht die glatte, glasierte Sorte, die wir essen. Stattdessen handelt es sich um einen polyedrischen Torus – eine gezackte, vielseitige Oberfläche, die einem geometrischen Kinderspielzeug ähnelt. Jetzt haben Forscher endlich die Mindestanzahl an Ecken (Scheitelpunkten) ermittelt, die erforderlich ist, um eine solche Form zu bilden und gleichzeitig sicherzustellen, dass sie mathematisch „flach“ bleibt.
Das Problem: Ebenheit in höheren Dimensionen
Die Herausforderung besteht darin, zu verstehen, was „flach“ in diesem Zusammenhang überhaupt bedeutet. Es geht nicht um die physische Ebenheit wie bei einem Blatt Papier, sondern um die intrinsische Ebenheit. Dies bedeutet, dass die Oberfläche die gleichen geometrischen Eigenschaften hat wie ein glatter Torus, der flach gequetscht wurde, wie ein Stück Ton. Das Problem wird deutlich schwieriger, wenn Formen in vier oder mehr Dimensionen betrachtet werden, wo die Intuition versagt und die Berechnungen komplex werden.
Der Durchbruch: Acht Eckpunkte sind der Schlüssel
Der Mathematiker Richard Evan Schwartz von der Brown University hat dieses Problem kürzlich gelöst und seine Ergebnisse im August 2025 veröffentlicht. Er bewies, dass ein polyedrischer Torus nicht intrinsisch flach mit weniger als acht Eckpunkten sein kann, und demonstrierte dann ein Beispiel für einen Torus mit acht Eckpunkten, der flach ist.
„Es ist sehr erstaunlich, dass Rich Schwartz dieses bekannte Problem vollständig lösen konnte“, sagt Jean-Marc Schlenker, Mathematiker an der Universität Luxemburg. „Das Problem sieht elementar aus, war aber schon seit vielen Jahren offen.“
Schwartz‘ Methode bestand darin, von einem bestehenden polyedrischen Torus aus rückwärts zu arbeiten, um die notwendigen Bedingungen für seine Konstruktion aufzudecken. Um Ebenheit zu gewährleisten, muss die Summe der Winkel um jeden Scheitelpunkt 2π betragen – eine Grundvoraussetzung für intrinsische Ebenheit.
Von Elektronen auf einer Kugel zu Origami-Torusen
Die Inspiration für diese Forschung kam von einem scheinbar unabhängigen Problem: der Suche nach der optimalen Anordnung von Elektronen auf einer Kugel. Schwartz‘ Kollegen schlugen den Zusammenhang vor und stellten fest, dass bei beiden Problemen komplexe Konfigurationen durchsucht werden müssen, um die effizienteste Lösung zu finden. Schwartz tat das Origami-Torus-Problem jahrelang als zu schwierig ab, selbst nachdem seine Freunde es ihm aufgedrängt hatten.
Der Durchbruch gelang ihm, als er erfuhr, dass ein anderer Forscher eine Neun-Eckpunkt-Lösung gefunden hatte. Diese Entdeckung veranlasste Schwartz dazu, die Herausforderung erneut anzugehen, und eine wenig bekannte Arbeit aus dem Jahr 1991 lieferte einen wichtigen Hinweis. Anschließend vervollständigte er den Beweis, dass sieben Scheitelpunkte nicht ausreichen, und verwendete dann „stark überwachtes maschinelles Lernen“, um das funktionierende Beispiel mit acht Scheitelpunkten zu finden.
Eine Mischung aus Tradition und Berechnung
Schwartz‘ Erfolg unterstreicht seinen einzigartigen Ansatz: die Kombination strenger mathematischer Untersuchungen mit rechnerischen Methoden. Er schreibt Programme zur Suche nach Beispielen und ergänzt so seine traditionellen geometrischen Erkenntnisse. Laut Schlenker sind diese Fähigkeiten unter Mathematikern selten.
Dieser Befund liefert eine endgültige Antwort auf eine seit langem bestehende Frage in der Geometrie und beweist, dass acht Eckpunkte das absolute Minimum sind, das zum Aufbau eines intrinsisch flachen polyedrischen Torus erforderlich ist. Die Entdeckung unterstreicht die Kraft der Kombination theoretischer Strenge mit rechnerischen Werkzeugen in der modernen Mathematik.
