Десятиліттями математики розмірковували про найпростіший спосіб побудувати об’єкт у формі пончика з плоских частин, як папір для орігамі. Але є одна заковика: цей пончик не той гладкий пончик з цукровою пудрою, який ми їмо. Натомість це багатогранний тор — кутаста багатогранна поверхня, схожа на дитячу геометричну іграшку. Тепер дослідники нарешті визначили мінімальну кількість кутів (вершин), необхідних для створення такої форми, гарантуючи, що вона є математично «плоскою».
Проблема: площинність у вищих вимірах
Складність полягає в тому, щоб зрозуміти, що взагалі означає «плоскість» у цьому контексті. Ми говоримо не про фізичну площину, як аркуш паперу, а про іманентну площину. Це означає, що поверхня має такі ж геометричні властивості, як гладкий тор, сплюснутий, як шматок глини. Завдання стає набагато складнішим при розгляді фігур у чотирьох або більше вимірах, де інтуїція підводить і розрахунки стають складними.
Прорив: Вісім вершин – ключ
Математик Річард Еван Шварц з Університету Брауна нещодавно розв’язав цю проблему, опублікувавши свої результати в серпні 2025 року. Він довів, що багатогранний тор не може бути іманентно плоским із менш ніж вісьмома вершинами, а потім показав приклад восьмивершиного тора, який є справді плоским.
«Дивно, що Річу Шварцу вдалося повністю розв’язати цю відому проблему», — каже Жан-Марк Шленкер, математик із Люксембурзького університету. «Проблема здається елементарною, але залишається відкритою протягом багатьох років».
Метод Шварца полягав у роботі в зворотному напрямку від існуючого багатогранного тора, щоб визначити необхідні умови для його побудови. Щоб забезпечити площинність, сума кутів навколо кожної вершини має дорівнювати 2π, що є основною вимогою для внутрішньої площини.
Від електронів на кулі до Орігамі Тор
Натхненням для цього дослідження стала, здавалося б, незв’язана проблема: пошук оптимального розташування електронів на сфері. Колеги Шварца запропонували зв’язок, зазначивши, що обидва завдання передбачають пошук складних конфігурацій для пошуку найбільш ефективного рішення. Протягом багатьох років Шварц відкидав проблему тора орігамі як надто складну, навіть після того, як друзі переконали його повернутися до неї.
Прорив стався, коли він дізнався, що інший дослідник знайшов рішення з дев’яти вершин. Це відкриття спонукало Шварца повернутися до проблеми, і маловідома стаття 1991 року дала важливу підказку. Потім він завершив доказ того, що семи вершин недостатньо, а потім використав «ретельно контрольоване машинне навчання», щоб знайти робочий приклад із вісьмома вершинами.
Поєднання традицій і обчислень
Успіх Шварца підкреслює його унікальний підхід: поєднання ретельних математичних досліджень із обчислювальними методами. Він пише програми для пошуку прикладів, доповнюючи свої традиційні геометричні ідеї. За словами Шленкера, такий набір навичок рідко зустрічається серед математиків.
Це відкриття дає остаточну відповідь на давнє питання геометрії, доводячи, що вісім вершин є абсолютним мінімумом, необхідним для побудови іманентно плоского багатогранного тора. Це відкриття підкреслює силу поєднання теоретичної строгості з обчислювальними інструментами в сучасній математиці.
